Hack de matemáticas · UNAM / IPN
El método que usamos en CONAMAT para resolver el 80% de los reactivos algebraicos en la mitad del tiempo.
En el examen de admisión a la UNAM, las matemáticas representan cerca del 20% de los reactivos. Y dentro de matemáticas, la factorización es el tema que más se repite año tras año, junto con las ecuaciones de segundo grado. Lo mismo ocurre en el IPN: si dominas tres patrones específicos, resuelves la gran mayoría de los reactivos algebraicos en menos de la mitad del tiempo.
Aquí te enseñamos el método que usamos con nuestros aspirantes: los tres tipos de factorización clave, un truco visual que ahorra pasos y cinco ejercicios resueltos para practicar antes del examen.
Factorizar es el proceso inverso de multiplicar. En lugar de combinar dos expresiones en una (como cuando desarrollas (x + 3)(x − 2)), partes de una expresión y la "rompes" en sus factores originales: descomponer un polinomio en piezas más simples.
¿Por qué los exámenes la incluyen tanto? Por tres razones:
La buena noticia: la mayoría de los ejercicios de factorización de estos exámenes cae en solo tres patrones. Vamos a verlos.
| Tipo | ¿Cuándo lo identificas? | Patrón |
|---|---|---|
| Factor común | Todos los términos comparten una variable o número | ax + ay = a(x + y) |
| Trinomio cuadrado perfecto | 3 términos · el primero y el último son cuadrados perfectos | a² ± 2ab + b² = (a ± b)² |
| Diferencia de cuadrados | 2 términos · ambos cuadrados perfectos · están restando | a² − b² = (a + b)(a − b) |
El más fácil y el más frecuente. La pregunta clave: "¿qué tienen en común todos los términos?". Eso que comparten lo sacas como factor.
Ejemplo 1: factoriza 6x³ + 9x²
Paso 1. Coeficientes 6 y 9 → MCD = 3
Paso 2. Variables x³ y x² → menor potencia x²
Paso 3. Factor común = 3x²
Resultado: 6x³ + 9x² = 3x²(2x + 3)
Ejemplo 2: factoriza 15a²b − 20ab² + 25ab
Paso 1. MCD de 15, 20 y 25 = 5
Paso 2. a y b aparecen en los tres términos, potencia mínima 1 → ab
Paso 3. Factor común = 5ab
Resultado: 15a²b − 20ab² + 25ab = 5ab(3a − 4b + 5)
Aparece cuando tienes tres términos y la expresión es el resultado de elevar un binomio al cuadrado. Lo identificas así:
Ejemplo 1: factoriza x² + 6x + 9
Paso 1. √x² = x
Paso 2. √9 = 3
Paso 3. Verificación: 2·x·3 = 6x (coincide con el término de en medio)
Paso 4. El signo de en medio es +, así que el binomio lleva +.
Resultado: x² + 6x + 9 = (x + 3)²
Ejemplo 2: factoriza 4y² − 20y + 25
Paso 1. √(4y²) = 2y
Paso 2. √25 = 5
Paso 3. Verificación: 2·2y·5 = 20y
Paso 4. El término de en medio es negativo, así que el binomio lleva −.
Resultado: 4y² − 20y + 25 = (2y − 5)²
El más rápido. Si ves dos términos restándose y ambos son cuadrados perfectos, la solución es casi automática: sacas raíz a cada uno y armas (suma)(resta).
Ejemplo 1: factoriza x² − 49
Paso 1. √x² = x
Paso 2. √49 = 7
Paso 3. Aplicas a² − b² = (a + b)(a − b)
Resultado: x² − 49 = (x + 7)(x − 7)
Ejemplo 2: factoriza 25a² − 16b²
Paso 1. √(25a²) = 5a
Paso 2. √(16b²) = 4b
Resultado: 25a² − 16b² = (5a + 4b)(5a − 4b)
Antes de calcular nada, observa la expresión y hazte en este orden exacto tres preguntas. Le llamamos el árbol de decisión.
Pregunta 1 → ¿Todos los términos comparten algo (número o variable)?
SÍ → Factor común. Sácalo primero, siempre. Después aplica el siguiente paso si queda algo factorizable.
Pregunta 2 → ¿Cuántos términos hay?
2 términos restándose → diferencia de cuadrados.
3 términos → probablemente trinomio cuadrado perfecto.
Pregunta 3 → ¿Las raíces cuadradas funcionan?
Si sacas raíz exacta del primero y del último término, vas bien. Si no, probablemente sea otro caso (agrupación o trinomio de la forma x² + bx + c).
Ejemplo aplicado. Te dan 2x² − 18. Tu cerebro debería hacer esto en orden:
Resultado: 2x² − 18 = 2(x + 3)(x − 3). Tiempo total: menos de 10 segundos.
Tip: en el video de TikTok que acompaña esta guía verás el árbol de decisión aplicado a un reactivo real del examen UNAM. Para ir más a fondo, en nuestro Diplomado en Matemáticas Master trabajamos cada caso con cientos de variantes.
Ahora tú. Resuelve estos cinco antes de ver las respuestas. Si te toma más de 30 segundos por ejercicio, el árbol de decisión aún no es automático: practica más.
¿Sacaste los 5? Estás listo para la sección algebraica. ¿Fallaste uno o dos? Revisa el árbol de decisión: probablemente saltaste la pregunta 1 (el factor común) o no verificaste el doble producto en el TCP. ¿Tres o más errores? Te conviene reforzar los fundamentos con nuestro curso de preparación al IPN o el curso de preparación a la UNAM.
Antes de seguir estudiando: ten las fechas del examen en tu calendario. Revisa el calendario de exámenes UNAM, IPN y UAM y el calendario completo de admisiones 2026 para armar tu cronograma.
Reunimos los 20 hacks de matemáticas que usamos en CONAMAT para acelerar tus respuestas en el examen UNAM/IPN: aritmética rápida, álgebra, geometría, trigonometría y estrategia. Todo en una guía PDF lista para imprimir.
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