El método que usamos en CONAMAT para resolver el 80% de los reactivos algebraicos en la mitad del tiempo.
En el examen de admisión a la UNAM, las matemáticas representan cerca del 20% de los reactivos. Y dentro de matemáticas, la factorización es el tema que más se repite año tras año, junto con ecuaciones de segundo grado. Lo mismo ocurre en el examen del IPN: si dominas tres patrones específicos, puedes resolver la gran mayoría de los reactivos algebraicos en menos de la mitad del tiempo.
En esta guía te enseñamos el método que usamos con nuestros aspirantes en CONAMAT: los tres tipos de factorización clave, un truco visual que ahorra pasos, y cinco ejercicios resueltos para que practiques antes del examen.
Factorizar es el proceso inverso de multiplicar. En lugar de tomar dos expresiones y combinarlas en una sola (como cuando desarrollas (x + 3)(x − 2)), partes de una expresión y la "rompes" en sus factores originales. Es, literalmente, descomponer un polinomio en piezas más simples.
¿Por qué los exámenes de admisión la incluyen tanto? Por tres razones muy concretas:
La buena noticia: el 80% de los ejercicios de factorización en estos exámenes cae en solo tres patrones. Vamos a verlos.
Antes de entrar al detalle, aquí tienes la tabla rápida para que la guardes:
| Tipo | ¿Cuándo lo identificas? | Patrón |
|---|---|---|
| Factor común | Todos los términos comparten una variable o número | ax + ay = a(x + y) |
| Trinomio cuadrado perfecto | 3 términos · primero y último son cuadrados perfectos | a² ± 2ab + b² = (a ± b)² |
| Diferencia de cuadrados | 2 términos · ambos son cuadrados perfectos · están restando | a² − b² = (a + b)(a − b) |
El más fácil y el más frecuente. La pregunta que tienes que hacerte es: "¿qué tienen en común todos los términos?". Eso que comparten lo sacas como factor.
📝 Ejemplo 1: Factoriza 6x³ + 9x²
Paso 1. Coeficientes: 6 y 9 → MCD = 3
Paso 2. Variables: x³ y x² → la menor potencia es x²
Paso 3. Factor común = 3x²
Resultado: 6x³ + 9x² = 3x²(2x + 3)
📝 Ejemplo 2: Factoriza 15a²b − 20ab² + 25ab
Paso 1. MCD de 15, 20 y 25 = 5
Paso 2. Variables comunes: a y b aparecen en los tres términos, con potencia mínima 1 → ab
Paso 3. Factor común = 5ab
Resultado: 15a²b − 20ab² + 25ab = 5ab(3a − 4b + 5)
Aparece cuando tienes tres términos y la expresión es el resultado de elevar un binomio al cuadrado. La forma de identificarlo:
📝 Ejemplo 1: Factoriza x² + 6x + 9
Paso 1. Raíz cuadrada del primer término: √x² = x
Paso 2. Raíz cuadrada del último término: √9 = 3
Paso 3. Verificación: 2 · x · 3 = 6x ✅ (coincide con el término del medio)
Paso 4. Como el signo del medio es +, el binomio también lleva +.
Resultado: x² + 6x + 9 = (x + 3)²
📝 Ejemplo 2: Factoriza 4y² − 20y + 25
Paso 1. √(4y²) = 2y
Paso 2. √25 = 5
Paso 3. Verificación: 2 · 2y · 5 = 20y ✅
Paso 4. Como el término del medio es negativo, el binomio lleva −.
Resultado: 4y² − 20y + 25 = (2y − 5)²
El más rápido de todos. Si ves dos términos restándose y ambos son cuadrados perfectos, la solución es casi automática: sacas raíz a cada uno y armas (suma)(resta).
📝 Ejemplo 1: Factoriza x² − 49
Paso 1. √x² = x
Paso 2. √49 = 7
Paso 3. Aplicas la fórmula a² − b² = (a + b)(a − b)
Resultado: x² − 49 = (x + 7)(x − 7)
📝 Ejemplo 2: Factoriza 25a² − 16b²
Paso 1. √(25a²) = 5a
Paso 2. √(16b²) = 4b
Resultado: 25a² − 16b² = (5a + 4b)(5a − 4b)
Aquí está el método abreviado que enseñamos en clase y que reduce el tiempo de decisión a menos de tres segundos por reactivo. Le llamamos "el árbol de decisión" y funciona así: antes de calcular nada, observa la expresión y hazte en este orden exacto tres preguntas.
PREGUNTA 1 → ¿Todos los términos comparten algo (número o variable)?
SÍ → Factor común. Sácalo primero, siempre. Después aplica el siguiente paso si queda algo factorizable.
PREGUNTA 2 → ¿Cuántos términos hay?
2 términos restándose → Diferencia de cuadrados
3 términos → Probablemente trinomio cuadrado perfecto
PREGUNTA 3 → ¿Las raíces cuadradas funcionan?
Si puedes sacar raíz exacta del primero y del último término, vas bien. Si no, probablemente sea otro tipo (factorización por agrupación o trinomio de la forma x² + bx + c).
Ejemplo visual del truco aplicado. Te dan: 2x² − 18. Tu cerebro debería hacer esto en orden:
Resultado final: 2x² − 18 = 2(x + 3)(x − 3). Tiempo total: menos de 10 segundos. Ese es el ritmo que necesitas para terminar el examen completo.
📺 Tip: En el video de TikTok que acompaña esta guía verás este árbol de decisión aplicado en vivo a un reactivo real del examen UNAM. Si quieres ir más a fondo, en nuestro Diplomado en Matemáticas Master trabajamos cada caso con cientos de variantes.
Ahora tú. Toma papel, lápiz, y resuelve estos cinco antes de ver las respuestas. Si te toma más de 30 segundos por ejercicio, el árbol de decisión todavía no es automático: practica más.
¿Sacaste los 5? Estás listo para la sección algebraica del examen. ¿Te equivocaste en uno o dos? Vuelve a revisar el árbol de decisión: probablemente saltaste la pregunta 1 (el factor común) o no verificaste el doble producto en el TCP. ¿Tres o más errores? Te recomendamos tomar nuestro Curso de Preparación al IPN o el Curso de Preparación a la UNAM para reforzar los fundamentos antes del examen.
📅 Antes de seguir estudiando: asegúrate de tener las fechas del examen en tu calendario. Revisa nuestro calendario de exámenes UNAM, IPN y UAM y el calendario completo de admisiones 2026 para armar tu cronograma de estudio sin sorpresas.
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