¿Por qué existen las matemáticas?

En este CONAMAT Post hablaremos de las ideas del pensamiento matemático. Desde una perspectiva filosófica, las matemáticas nacen como una construcción colectiva para consolidar una forma de relación lógica y cuantitativa que posibilite acuerdos entre grupos humanos, a fin de realizar intercambios de ideas y conocimientos. Sin embargo, su presencia, a veces trasciende nuestro entendimiento y su expresión va de la mano con la evolución de la naturaleza, permitiéndonos resolver una gran diversidad de problemas de nuestro entorno.

Desde los tiempos de Euclides y Aristóteles han surgido tantas opiniones sobre el problema de la existencia como filósofos. En épocas modernas, las diferentes escuelas de la filosofía matemática (logicistas, formalistas e intuicionistas) han discutido la esencia del ser de las matemáticas. Tanto los formalistas, quienes perciben a las matemáticas parecidas a un juego sin sentido, como los logicistas, que las consideran como una rama de la lógica, las tratan con gran interés y entusiasmo.

Antes, una breve reseña de estos personajes:

Euclides (ca. 325 a. C.-ca. 265 a. C.). Matemático y geómetra griego, conocido como "el padre de la geometría". Fue autor de diversos tratados, de los cuales, su nombre se asocia principalmente a uno de ellos, llamado Los Elementos. Es de los filósofos/matemáticos griegos más reconocidos en la historia junto a Platón y Aristóteles.

Aristóteles (ca. 384 a. C.-ca. 322 a. C.). Considerado uno de los pensadores más importantes de la historia de la filosofía occidental. Sus ideas sobre ciencias naturales, biología, física y metafísica han influido en generaciones de pensadores. En 335 fundó su propia escuela en Atenas, el Liceo.

Ahora, existencia es una expresión metafísica atada a la noción misma del ser. Por ejemplo, sabemos que los planetas existen sin que ello dependa de nuestra mente. En cambio, el lenguaje existe, y claramente podemos decir que es un producto humano, más aún los planetas seguirán existiendo sin la humanidad; el lenguaje no. Por lo tanto, si las matemáticas fueran un lenguaje, estas serían generadas exclusivamente por la mente humana; sin embargo, es clara su aparición en la naturaleza y en muchos procesos del universo. Un ejemplo son los fractales, los cuales se tratan de figuras autosimilares, que conservan la misma apariencia en diferentes escalas; y cuya caracterización es irregular, fragmentada, repetitiva e infinita. Y aunque los fractales pueden encontrarse en la estructura de las galaxias, las nubes, algunos árboles y plantas, en el cerebro humano o en las redes del sistema circulatorio de los seres vivos; su geometría y dimensión salen de lo conocido comúnmente.  Su aplicación nos lleva a entender sucesos, así como formas naturales, y actualmente aparecen en varias disciplinas, como la química, biología, astronomía, medicina, ingeniería, música, la animación y artes visuales.

De tal forma, cabe preguntarnos si, ¿será posible la existencia de una realidad matemática independiente de la mente, paralela a la realidad física, que garantice su perpetuidad?

Ciertamente para los neopositivistas, las matemáticas no son más que un lenguaje y en consecuencia pueden describir la realidad, pero carecen de un contenido propio. Para ellos todas las verdades matemáticas y sus demostraciones podrían reducirse a un conjunto de símbolos, e incluso generarse en forma mecánica, por lo menos en principio, y no hay más verdad que lo que se puede expresar con símbolos y las reglas sintácticas de un lenguaje.

Entre los años 1910 y 1913, obsesionados por la perfección y a fin de proteger a la matemática de cualquier inconsistencia, Bertrand Russell y Alfred North Whitehead publicaron el libro Principia Mathematica, al que dotaron de un gran número de candados y simbolismos. Sin embargo, para su sorpresa, en 1931 el matemático vienés Kurt Gödel derribó esos castillos de arena y demostró que en un sistema lógico siempre existen proposiciones que no se pueden demostrar ni refutar. Esto lo logró, haciendo una distinción entre lo que llamó matemáticas objetivas, las cuales incluyen todas las proposiciones verdaderas y las matemáticas subjetivas, que por otra parte contienen solo aquellas que la mente humana puede demostrar.

A diferencia de los neopositivistas, que negaban todo valor a la intuición, Gödel afirmaba que esta es esencial para vislumbrar cualquier verdad matemática, incluso si tal verdad es imposible de demostrar. El teorema de Gödel implica que la mente humana hace matemáticas subjetivas, pero no puede aprender en su totalidad las matemáticas objetivas. Así, Gödel argumenta que, si las matemáticas fueran meramente un producto de la mente humana, entonces toda verdad matemática podría ser conocida y demostrada, pues es de suponerse que un creador siempre es capaz de conocer o modificar su obra, y concluye: “los conceptos matemáticos forman una realidad objetiva, que no podemos crear o cambiar sino sólo percibir y describir”.

Notemos que su visión es acorde a la concepción platónica del universo. De acuerdo a la escuela filosófica de Platón, existen dos mundos: el material y el de las ideas o formas. El segundo se trata de una realidad eterna e inmutable en la que no fluye el tiempo y no es percibida por los sentidos, pero sí con la mente. Así, para Gödel las matemáticas son tan objetivas como lo permite el mundo material. Cita: “las matemáticas describen una realidad independiente de los actos y disposiciones de la mente, y es percibida en forma muy incompleta por la mente humana”.

Finalmente, en el universo de Gödel, las matemáticas existen del mismo modo como existen los planetas. Nosotros con nuestro pensamiento, podemos explorarlas y describirlas dentro de las limitaciones del lenguaje. De esta manera, las matemáticas serían una parte, quizás la más accesible, de esa otra realidad objetiva: el mundo de las ideas. Para los griegos las matemáticas eran la única vía para acercarnos a ese mundo ideal, siendo la geometría euclidiana su pilar. Por ese motivo, Platón dictaba en La Academia: “Aquí no entre quien no sepa geometría”.

Las matemáticas son una disciplina fundamental en la vida diaria y por supuesto, una herramienta que te permitirá acceder con una mayor oportunidad a el éxito en exámenes en tu institución educativa y concursos de admisión.

En este CONAMAT Post hemos presentado, desde una perspectiva filosófica, el objeto de existencia de las matemáticas en un sentido amplio, desde verlas como una corriente de pensamiento hasta llevarlas a una manera de resolver problemas del acontecer diario.